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凯利公式的推导过程

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发表于 2022-3-23 12:02:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
有资本金1,有p概率成功,收益是+W;有q=(1-p)概率失败,是负收益-L;求解最优投入比例x,使得累积n次后,总资产收益最大。

写出期望收益率函数,f(x)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q,求目标函数的极值,令f’(x)=0,

    即 p*(1+W*x)^(p-1)*W*(1-L*x)^q+(1+W*x)^p*q*(1-L*x)^(q-1)*(-L)=0;
       pW(1+Wx)^(p-1) *(1-L*x)^q =(1+W*x)^p*qL(1-L*x)^(q-1);
       pW(1+Wx)^(-1) =qL(1-L*x)^(-1);
       p*W*(1-L*x)=q*L*(1+W*x);
       p*W-q*L=p*W*L*x+q*L*W*x;  利用p+q=1;
    从而解得,x=(p*W-q*L)/(W*L)。
   定义赔率b=W/L, 则x=(p-q/b)/L。

当L=1时,即“一次投资的最大亏损是被清零”,就是凯利公式,x=p-q/b。

举例,投资项目70%概率翻倍,30%概率清零。这里,W=1,L=1,b=1;p=0.7,q=0.3;所以最优策略投入比例是x=0.7-0.3/1=0.4。若有资本金100万元,应该投入40万元是最优。期望收益率是f(x)=(1+1*0.4)^0.7*(1-1*0.4)^0.3=1.086。

我们可以看出,当考虑综合风险等因素,虽然这个项目表面上是+100%的成功利润率,但平均收益率仅是+8.6%,不算高。所以说,一般投资实体项目,都要求“预算三年回本”。虽然表面是+30%的年收益率,但与金融股票市场的年均+8%收益率实际效果差不多。

期望收益率的目标函数f(x)是怎么得来的呢?我们先简单的特殊验证一下,还是对的。比如,令p=1,q=0,W=1;显然,当x=1时,有最大值,是必然的2倍原资产的收益。

我自己思考,没能写出这个目标函数,我当初给想复杂了。每局收益为正或为负,是随机的;又有很多种可能的组合末态;还得再求累积收益的前n项和,及概率期望值;这太难了,没想出来。

在网上百度搜索了一下“凯利公式推导”,知乎有这方面的解答,我看懂了。

我们只看末态资产及递推关系。显然,a(n+1)=a(n)*(1+W*x)或者a(n+1)=a(n)*(1-L*x),我们合并写成,a(n)*(1+W*x)^1*(1-L*x)^0,或者a(n)*(1+W*x)^0*(1-L*x)^1。这样,我们就能写出,an=a0*(1+W*x)^S*(1-L*x)^F。 其中,S是胜利的局数,F是失败的局数,S+F=n次。

我们定义平均每次收益率为r,则a0*(1+r)^n=an。我们再定义期望收益率函数,
    即f(x)=(1+r)=(an/a0)^(1/n);
从而,f(x)= (1+W*x)^(S/n)*(1-L*x)^(F/n)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q;
   其中,胜率p=S/n,败率q=F/n,q=1-p。

对于横向事例的投资最优策略,我认为还是很简单的。横向一共有10个项目,每个都是相同的胜率及赔率。显然,每一个项目都是平权的盈利机会,所以都得参与。既然每一个项目都不比其他更好或更差,那么就是平均分配。即,100万元投资10个项目,每个项目都投入10万元。这样,总资本的期望值就是,
10个*((10*2)万元/个*0.7+0万元/个*0.3)=140万元。

这要少于纵向事例的总收益。
10次*((40*2)万元/次*0.7+0万元/次*0.3)=560万元。

这里就能看出,横向事例与纵向事例的不对称性。






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发表于 2022-3-23 18:46:58 | 显示全部楼层
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